نظريه ويلسون

Wilson's Theorem (نظرية ويلسون)
في العام 1770م أعلن ادوارد وارنج Edward Waring هذه النظرية[م] والتي تعود لأحد طلابه السابقين وهو جون ويلسون John Wilson. لم يقدم وارنج ولا تلميذه ويلسون برهان للنظرية. أول برهان قدم لها كان من قبل لاجرانج وذلك بعد الإعلان عنها بثلاث سنوات وتذكر الموسوعة العالمية http://en.wikipedia.org أن أول من اكتشف نظرية ويلسون هو الحسن ابن الهيثم. نظرية ويلسون نتيجة[م] جميلة قيمتها النظرية أكبر من قيمتها العملية نظرا للتزايد السريع في قيمتها وهذا يجعل من الصعب إدراجها في خوارزميات لاكتشاف أولية عدد معين[م].
نظرية ويلسون: إذا كان p>1 عدد طبيعي فإن p عدد أولي إذا وفقط إذا كان

الإثبات: يمكن بسهولة التحقق من صحة النظرية بالنسبة للعددين 2,3 لذلك نفرض p>3.
بداية نثبت الشق: إذا كان فإن p أولي. افرض أن p عدد صحيح موجب بحيث

إذا حيث m عدد صحيح. الآن إذا كان q قاسم فعلي للعدد p فإن q يقسم كلا من وبالتالي إذا q=1 وهذا يثبت أن p عدد أولي.
إثبات الشق الثاني: افرض ان p أولي. كل عدد a من الأعداد
1,2,3....,p-2,p-1
يعتبر أولي نسبيا مع p ولذلك يوجد عددين صحيين x,y بحيث
px+ay=1
باستخدام خوارزمية القسمة y=qp+r حيث r عدد صحيح موجب أقل من p. باستبدال y في المساواة أعلاه واستخدام مفهوم التطابق نصل مباشرة إلى أن

إذا لكل a من ضمن المجموعة
{1,2,3....,p-2,p-1}
يوجد r بحيث ar=1 معيار p. العدد r هنا وحيد معيارp. التساوي a=r لا يمكن أن يتحقق إلا في حالتين , عندما a=1 أو a=p-1. إذا عناصر المجموعة
{2,3....,p-2 }
يمكن وضعها في أزواج مرتبة بحيث حاصل ضرب مركبتي كل زوج يساوى واحد (معيار p ) ولذلك

اضرب كلا الطرفين في p - 1 لينتج مباشرة أن

وهو المطلوب.
مراجع الويب
http://mathworld.wolfram.com/WilsonsTheorem.html

الطالبه:هندمحمدمشعل السريع
رقم الجامعي:430001002